Eenvoudige wiskunde: de boventonen van de majeur toonladder

Onze Westerse toonladder, gebaseerd op de majeur toonladder (en relatieve kerktoonladders zoals Dorisch, Mixolydiaans etc.), volgt de regels van wiskunde en natuurkunde bij het verhogen en verlagen van toonhoogtes. Als je bijvoorbeeld een A noot bij 440 hertz neemt en deze verdubbelt dan krijg je een A van 880 hertz. Dit noemen we het octaaf. Als je de A440 3 keer vermenigvuldigt krijg je 1320 hertz, deze frequentie (een E) is gerelateerd aan de A440 als kwint/vijfde interval. 4 keer 440 = 1760 hertz, wat betekent dat het twee octaven gerelateerd is aan de A440. Als we 440 met 5 vermenigvuldigen, krijgen we: 2200 hertz. Deze toon is een C# en dit vormt het grote terts interval.

Je kunt dit zelf uitproberen met behulp van een paar snaren van dezelfde lengte:
– laat er eentje onaangeroerd
– snijd een snaar doormidden
– knip een snaar in 3 gelijke delen
– knip een snaar in 4 gelijke delen
– knip een snaar in 5 gelijke delen

Wat je zojuist hebt gedaan is het creëren van dezelfde tonen als ik hierboven beschrijf. Deze snaren vormen samen een majeur akkoord.

Maar je kunt ook een synth gebruiken. Gebruik bijvoorbeeld Reason’s Europa synth en selecteer een paar oscilators/wavetables en bekijk deze op een spectrum analyser:
Als je het instelt op Basic Analog krijg je een relatief zuivere Sinus toon zonder boventonen.
Als je hem instelt op Square-Ramp zie je deze boventonen verschijnen in de spectrum analyser: C3 C5 E5.
Als je het op Saw-Triangle zet zie je dit: C3 C4 G4 C5 E5 G5.
Als je dit instelt op Pulse Width zie je dit: C3 C4 G4 C5 E5 G5.

Dus de eerste 5 harmonischen (de 1e harmonische is de tonica, de grondtoon) van een noot vormen de tonen van een majeurakkoord op dezelfde manier als hierboven eerder beschreven door een noot te vermenigvuldigen. En zie hoe de Square-Ramp een paar boventonen, een paar octaven mist. Maar het creëert nog steeds die grote terts majeur drieklank.

Als je naar de 7e natuurlijke harmonische kijkt zie je dat het het een A#5 is. Een verlaagde 7. De eerste harmonischen vormen dus samen een dominant septiem akkoord, het bluesakkoord. Met het beroemde tritone-interval tussen de majeur 3 en verlaagde 7.

De natuurlijke harmonischen zijn dus gewoon een kwestie van vermenigvuldigingen vanaf de grondtoon. Kind kan de was doen!

Als je 4 synths hebt met een zuivere sinusgolf die C3, C4, G4, C5, E5 en G5 spelen, zal dit hetzelfde klinken als het spelen van een noot op een piano of een gitaar bijvoorbeeld. Dezelfde boventonen worden gegenereerd.

Als we nog een stap verder gaan: ook vervorming volgt exact dezelfde natuurkundige regels. Vervorming bestaat ook uit vermenigvuldigingen van de grondfrequentie op dezelfde manier, met behulp van simpele berekeningen zoals maal 2, maal 3, maal 4 enzovoorts.

En opnieuw vormen deze tonen ook bij vervorming een grote majeur toonladder. Vermenigvuldigingen met 2 en 4 zorgen voor octaven en vermenigvuldigingen met 3 en 5 zorgen respectievelijk voor een kwint en een grote terts. Als het goed is begin je nu te begrijpen waarom de tonen 1, 3 en 5 zo krachtig zijn in de westerse muziek. Deze tonen zijn simpelweg het resultaat van eenvoudige basisfysica, die de eerste boventonen vormen van elke toon op vrijwel elk instrument. Ik ben er absoluut zeker van dat onze hersenen getraind zijn om die zeer gebruikelijke intervallen, eenvoudige afstanden tussen frequenties, te herkennen in alles wat klinkt. Het zijn deze basis relaties die onze hersenen razendsnel oppikken. Net zo goed als we een vierkant herkennen, of een verhouding van 2:1, 3:1 enzovoorts.

Baroque.me: Bach Cello Suites No. 1, Prelude gevisualiseerd

Er zijn mensen die niets met muziektheorie te maken willen hebben. Vooral popjournalisten hebben hier een handje van. Sla deze post dan maar over.

Chen Alexander, werkzaam bij Google Creative Lab, maakt interactieve muzikale javascript toepassingen die in een moderne browser te gebruiken zijn. Zo ook Baroque.me een website die de 1e prelude uit Bach’s Cello Suites visualiseert. Wiskundigheden vallen hieruit op te maken:

  • de cirkels zijn even groot
  • in beide cirkels staan beide balletjes precies in 180 graden tot elkaar
  • de cirkels draaien in hetzelfde tempo

Bovenstaande video is de statische variant van Baroque.me maar probeer deze laatste ook vooral uit omdat je de balletjes beet kunt pakken en ergens anders naartoe kunt slepen. Hierdoor zal er andere muziek klinken om vervolgens na een poosje zich geheel weer te resetten naar de Prelude van Bach.

Het mag duidelijk zijn dat de lange snaren een lagere toon vertegenwoordigen dan de korte snaren. Net zoals dat bij muziekinstrumenten het geval is; groot/lang staat voor diep, klein/kort staat voor hoog.

Zie ook het volledige verhaal van Chan over zijn geweldige muzikale toepassing op zijn eigen blog →

(via Create Digital Music)

Update: qua visualisaties van deze Prelude, hier is er nog een:

Het afrondingsverschil van blokgolven en vierkante pixels

square golfvorm

Als je met audio werkt zoals ik dan werk je met samplefrequenties. Zo is 44.1 kHz de norm voor CD/audio en 48 kHz over het algemeen (met name voor DVD) de norm voor video. Ook wordt er vaak gebruik gemaakt van nog hogere samplefrequenties zoals 96 kHz. En als je met digitale filters en synthese werkt dan hebben die samplefrequenties daar direct invloed op, waardoor het geluid dus verschillend klinkt wanneer iets via bv 44.1 kHz of 96 kHz afgespeeld of gerenderd wordt. Minieme verschillen die menig professioneel luisteraar zelfs niet hoort. Vreemd, want ik hoor die verschillen wel. Niet om stoer te doen maar ook vandaag was dat weer een gewaarwording. Een paar van mijn collega’s hoorde geen verschil via hele dure spullen. En ik hoorde zelfs via mijn laptop speakers van mijn MacBook Pro de verschillen direct. Zelfs via de Finder van OSX zonder de files perfect A/B te vergelijken.

Deze minieme verschillen ontstaan naast een paar andere factoren met name door afrondingsverschillen. Omdat er geen getallen achter de nul mogen ontstaan bij digitale audio. Dus ronden we af op hele waarden. En vanmiddag realiseerde ik me ineens: we Ronden het Hoekige signaal dus af. Net zoals een plaatje op je beeldscherm op hele Hoekige pixels afgeRond wordt. Een halve pixel bestaat namelijk niet. En waardoor je dus vervorming krijgt want deel bijvoorbeeld 3 pixels maar eens door 2 (wanneer je dus een plaatje voor de helft zou verkleinen), kies je dan voor 2 pixels of 1 pixel die getoond moeten worden? Kortom: dat ga je zien op het scherm. Met analoog heb je daar totaal geen last van.

Echt rond wordt het nooit met die digitale techniek. Squarewaves of pixels, iets anders kunnen we (nog) niet digitaal produceren.